Andrzej Odzijewicz z Instytutu Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Jagiellońskiego przedstawił operator binarny eml(x, y) = exp(x) − ln(y). Operator ten, wraz ze stałą 1, pozwala odtworzyć cały zestaw funkcji elementarnych, w tym działania arytmetyczne i funkcje trygonometryczne. W ten sposób matematyka obliczeniowa może zostać zredukowana do pojedynczego bloku konstrukcyjnego, podobnie jak cyfrowe układy logiczne sprowadzają się do bramek NAND.
Przedstawiona praca odpowiada na pytanie o istnienie uniwersalnego prymitywu dla matematyki ciągłej, analogicznie do bramki NAND w logice Boole’a. Wcześniej sądzono, że funkcje elementarne wymagają zestawu niezależnych operacji, takich jak dodawanie, mnożenie, logarytmowanie i funkcje trygonometryczne. Autor demonstruje, że tę różnorodność można sprowadzić do jednej operacji.
Kluczowa idea opiera się na fakcie, że eksponenta i logarytm tworzą już niemal kompletną bazę do obliczeń. Mnożenie można wyrazić jako exp(ln a + ln b), a potęgowanie jako exp(b ln a). Operator eml łączy eksponentę, logarytm i odejmowanie w jedną funkcję. W najprostszych przypadkach daje to bezpośrednie konstrukcje: exp(x) = eml(x, 1). Logarytm wyraża się poprzez zagnieżdżone zastosowania eml.
Dowolne wyrażenie przyjmuje postać drzewa binarnego, gdzie każdy węzeł reprezentuje tę samą operację eml. Formalnie określa to gramatyka postaci S → 1 lub S → eml(S, S). Struktura ta zasadniczo różni się od standardowego zapisu formuł, w którym używa się kilkudziesięciu różnych operatorów.
Autor zweryfikował zupełność tej bazy za pomocą iteracyjnego testowania ablacyjnego. Z oryginalnego zestawu 36 prymitywów matematycznych sekwencyjnie usuwano elementy, po czym sprawdzano możliwość ich odtworzenia za pomocą pozostałych. Weryfikację przeprowadzono numerycznie: zamiast dowodu symbolicznego wykorzystano podstawienia niezależnych stałych przestępnych i porównanie wartości. Wyniki wykazały, że operator eml i stała 1 rzeczywiście tworzą kompletny zestaw.
Praktyczną konsekwencją tej pracy jest radykalne uproszczenie regresji symbolicznej. Zazwyczaj problem ten charakteryzuje się dużą złożonością i wymaga stosowania heurystyk, algorytmów genetycznych lub przeszukiwania kombinatorycznego w ogromnej przestrzeni możliwych formuł i operatorów. W reprezentacji poprzez eml wszystkie formuły stają się jednorodnymi drzewami jednego typu. Pozwala to na ujednolicenie architektury sprzętowej do obliczeń matematycznych, podobnie jak obwody cyfrowe budowane są z identycznych tranzystorów lub bramek NAND. Takie podejście może prowadzić do stworzenia bardziej wydajnych, kompaktowych i potencjalnie szybszych urządzeń obliczeniowych do zadań naukowych i inżynierskich.
Praca opisuje również możliwość stworzenia kompilatora EML, który tłumaczy formuły na równoważne wyrażenia za pomocą operatora eml. Takie wyrażenia można obliczać na sprzęcie z pojedynczą instrukcją, którą jest sam operator. Podobne kompilatory mogą generować kod do wykonania na specjalistycznym sprzęcie EML lub do emulacji na tradycyjnych komputerach z gwarancją ujednoliconej struktury. Może to być przydatne dla systemów wymagających wysokiego stopnia determinizmu, przewidywalności wydajności lub minimalizacji zasobów sprzętowych.
Istnieją jednak ograniczenia. Do wygenerowania niektórych stałych, takich jak liczba π i jednostka urojona i, obliczenia muszą przejść w dziedzinę zespoloną, ponieważ wymagane jest wyrażenie ln(−1). Omówiono również problemy przepełnienia i precyzji arytmetyki zmiennoprzecinkowej, które wymagają wprowadzenia dodatkowych ograniczeń na zakresy wartości.
W szerszym kontekście praca pokazuje, że struktura funkcji elementarnych może być znacznie prostsza, niż wcześniej sądzono. Jeśli proponowane podejście jest skalowalne, może połączyć uczenie maszynowe z klasyczną nauką: zamiast modeli dających tylko przewidywania, pojawia się możliwość automatycznego wydobywania dokładnych praw matematycznych z danych.
Publikacja jest dostępna w archiwum elektronicznym arXiv pod numerem 2603.21852v2. Istnienie wersji v2 wskazuje, że praca została zaktualizowana lub poprawiona po pierwotnej publikacji, prawdopodobnie z uwzględnieniem komentarzy. Główna weryfikacja pracy została przeprowadzona przez samego autora z wykorzystaniem metod obliczeniowych. Kwestia formalnej recenzji zewnętrznej pozostaje otwarta dla dalszej publikacji w czasopiśmie naukowym.