アンジェイ・オジボレク（Andrzej Odzijewicz）氏（ヤギェウォ大学理論物理学研究所）は、二項演算子 eml(x, y) = exp(x) − ln(y) を発表した。この演算子は定数 1 と組み合わせることで、算術演算や三角関数を含むすべての初等関数のセットを再現できる。これにより、デジタル論理回路が NAND ゲートに集約されるように、数値計算数学は単一の構成要素に還元される可能性がある。
今回発表された研究は、ブール論理における NAND と同様の、連続数学における汎用プリミティブの存在に関する問いに答えるものである。これまでは、初等関数には加算、乗算、対数、三角関数などの独立した操作のセットが必要と考えられていた。著者は、この多様性が単一の操作に還元できることを実証している。
鍵となるアイデアは、指数関数と対数がすでに計算においてほぼ完全な基底を形成しているという事実に基づいている。乗算は exp(ln a + ln b) として、べき乗は exp(b ln a) として表現できる。eml 演算子は、指数、対数、そして減算を一つの関数に統合する。最も単純なケースでは、exp(x) = eml(x, 1) といった直接的な構築が可能である。対数は eml の入れ子適用によって表現される。
あらゆる式は、各ノードが同じ eml 演算を表す二分木の形をとる。形式的には、これは S → 1 または S → eml(S, S) という文法で与えられる。この構造は、数十もの異なる演算子を使用する標準的な数式表記とは根本的に異なる。
著者は、反復的なアブレーションテストを用いてこの基底の完全性を検証した。36 個の数学的プリミティブの元のセットから要素を順次削除し、残りの要素を通じてそれらを再構築できるかどうかを確認した。検証は数値的に行われた：記号証明の代わりに、独立した超越定数の代入と値の比較が使用された。その結果、eml 演算子と定数 1 が確かに完全なセットを形成することが示された。
この研究の実用的な帰結は、記号回帰の根本的な簡素化である。通常、この問題は高い複雑性を特徴とし、発見的手法、遺伝的アルゴリズム、または膨大な数の可能な式と演算子に対する組み合わせ探索を必要とする。eml による表現では、すべての式が同じタイプの均質な木構造となる。これにより、デジタル回路が同一のトランジスタや NAND ゲートから構築されるように、数学的計算のためのハードウェアアーキテクチャを統一できる。このようなアプローチは、科学的および工学的なタスクのための、より効率的でコンパクトかつ潜在的に高速な計算デバイスの創出につながる可能性がある。
この研究はまた、数式を eml 演算子による等価な表現に変換する EML コンパイラの作成可能性についても述べている。そのような表現は、演算子そのものが唯一の命令であるハードウェア上で計算できる。同様のコンパイラは、専用の EML ハードウェア上で実行するため、または統一された構造を保証した上で従来のコンピュータ上でエミュレーションするためのコードを生成できる。これは、高度な決定性、パフォーマンスの予測可能性、またはハードウェアリソースの最小化を必要とするシステムにとって有用である可能性がある。
ただし、制限も存在する。π や虚数単位 i などの定数を生成するには、ln(−1) の表現が必要となるため、計算を複素数領域に移行しなければならない。また、浮動小数点演算におけるオーバーフローや精度の問題についても議論されており、値の範囲に追加の制限を導入する必要がある。
より広い文脈では、この研究は初等関数の構造がこれまで考えられていたよりもはるかに単純であり得ることを示している。提案されたアプローチが拡張可能であれば、機械学習と古典的科学を結びつける可能性がある：予測のみを提供するモデルではなく、データから正確な数学的法則を自動的に抽出することが可能になる。
この論文は電子アーカイブ arXiv に番号 2603.21852v2 として掲載されている。バージョン v2 の存在は、最初の出版後に、おそらくコメントを考慮して、研究が更新または修正されたことを示している。研究の主な検証は著者自身によって計算手法を用いて行われた。形式的な外部査読の問題は、学術誌への今後の掲載に向けて未解決のままである。